合情推理的概念是美籍匈牙利著名数学家、数学教育家乔治波利亚多年深入研究数学解题过程得出的理论成果。从字面来看，合情推理就是一种合乎情理的推理，只要是出自自己原始的想法，或是借助已有的经验得出的结论，不管是对是错，就是合情推理。其思维的形式主要有观察实验、比较发现、归纳、类比、猜想验证、估算，甚至是包括瞬间的联想、自觉、顿悟、灵感等。合情推理属于数学思维中的形象思维,其实质是“发现——猜想”。正如数学家拉普拉斯所说：“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比。”归纳和类比是合情推理在教学中最为主要的形式。合情推理是一种生动活泼的推理，它没有演绎推理严谨、严密，却有着自己独有的一些特征，比如似真性、创新性和经验性。从这些特征来看，其更符合学生的认知特点，更易于在教学中操作应用培养。
从教学实践中也不难发现，所有新知识的发现基本上是由合情推理所得，它是学习数学概念和原理，探索数学结论，寻求问题求解途径的重要和常用的方法。合情推理作为一般的科学方法，也是人们在生活中探索问题、寻求和发现真理的重要方法。所以说，在教学中适当地运用合情推理，能充分地展示数学知识产生、发展的过程，以及数学知识之间内在的对称和谐关系，将数学生动鲜活、自然合理的人文特性展示给学生，能激发学生数学学习的热情，有利于培养学生的人文精神与科学素养。
（一）再现数学概念的产生过程，培养学生的合情推理能力
数学概念是数学知识的重要组成部分，是学习的主要内容。数学中的相当部分概念都是原始的，无需证明的。中学数学教材中的许多原始概念，如点、线、面、体、数、常数、变数等等，都是由具体的事物观察然后再抽象出来的。对于这样的数学概念，在教学中我们应再现其产生过程，从学生所能经验的肯定举例中以归纳的方式概括出一类事物的本质属性。这就要求在进行概念教学时，尽量做到密切联系现实原型，引导学生分析、观察生活、生产、科技中的事例，在感性认识的基础上升为理性认识，形成概念。例如，初次学习函数的概念，教师先给出一些生活中常见的变量以及变量之间的关系，让学生自己感悟、概括出它们的共性。引导学生多次分析、比较后，从诸多的属性中，找出它们的共同本质属性：有两个变量，在一定的范围内，一个变量随另一变量的变化都有唯一确定的值和它对应。从而自己发现这一概念的形成过程，既培养了学生合情推理的能力，又使这一抽象的概念不再抽象。
（二）借助数学命题的学习，培养学生的合情推理能力
数学中的命题主要是指数学的定理、公式、性质和法则等。对于数学命题的学习大都是在原认知结构中的有关知识和新命题中的知识中，经过分化、归纳和类比等思维形式，从而发现新的命题。数学命题的学习通常可采用意义发现学习和意义接受学习两种方法。所谓意义发现学习，是指先呈现命题的若干事例，让学生从例证中概括出一般结论，在这种教学方法的指导下，学生所进行的是发现学习，整个学习的过程能有效的培养学生的合情推理能力。例如在学习了“三角形内角和等于180°”、“三角形中大边对大角”等关于三角形的知识后，再来学习等腰三角形和直角三角形的有关性质定理，比如“等腰三角形两底角相等”“勾股定理”等。又比如有理数加法法则、加减乘除法的各种运算律、数轴和绝对值知识等等都是采用不完全归纳推理形式得出的。通过对这些数学命题的学习，学生在经历不完全归纳的推理过程中，有效地培养了学生的合情推理能力。
（三）借助问题解决，培养学生的合情推理能力
问题解决是学生应用以前获得的知识投入到新的或不熟悉的情境中的一个过程。也就是说，问题解决是一个过程，是一个发现的过程，探索的过程，创新的过程，借助它，一个人可以使用原先所掌握的知识、技巧，以及对问题的理解来适应一种不熟悉状况所需要的这样一种手段。在进行问题解决时，学生必须综合他所学的东西，并把它用到新的、困难的状况中去。将问题解决作为过程，能有助于检验学生对技能和概念所做的操作，它们彼此间的相互联系及它们在解决各种问题中所起的作用，有助于学生去发现，去设计，去创新，去完成。在问题解决中，相当一部分是实际生活中的例子，为此，教师可根据学生的实际情况，适当精选或设计一些数学应用问题，组织学生学习或讨论，从而有效的培养学生的合情推理能力。
例如：有100位和尚，吃100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃一个。问大小和尚各几人？首先指导学生作出一个猜测：小和尚有90个，则大和尚有10个，一共吃馒头60个。猜测有误，指导学生修正猜测。所作猜测馒头数较少，故小和尚数过多，第二次猜测时小和尚人数应适当减少……经过上述的猜测、检验、修正等过程后问题得了解决。不难看出，即使学生不会列方程解应用题，不会假设法来解决这个问题，通过合情推理，学生也能找到解决问题的线索。
（四）借助生活化的问题，培养学生合情推理能力
在数学的教育教学活动以外有很多活动也能有效地发展学生的合情推理能力。人们日常生活中许多事情经常需要作出判断和推理，许多游戏中也隐含着推理的要求。所以，要进一步拓宽发展学生合情推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“合情推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。例如：在勾股定理的教学中设计在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理活动，在问题设置上鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程，尝试求出三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，猜想得到三个正方形面积的关系。初步发现直角三角形三边存在的关系，再通过上述过程归纳出猜想，在学生动手做一做，试一试，想一想的过程中发展学生的合情推理能力。又如在学习“由边长判定直角三角形”时，设计的实验：通过选择特定长度的绳子围成三角形，然后计算长度，度量角度，而后再取不同长度的绳子围成另一种特定边长的三角形，重复上面的步骤；这就是实验和问题有明显的“勾股”背景。这个实验从数和形两方面得到了直观印象，从而形成了数学思维，从潜移默化中培养了学生的合情推理能力。数学来源于生活，服务于生活，学生身边的数学，都是培养学生合情推理的素材，教学中要充分挖掘和利用。
（五）借助规律性问题，培养学生合情推理能力
中学数学中很多探究规律的题目及学习内容都很好的培养了学生的合情推理能力。让学生把问题特殊化，或者从特殊的例子出发，进行观察、思考、动手计算、测量逐步发现规律的东西，最终将隐含在其中的结论发现出来，然后再进行特殊化发现其特殊的规律。比如有一串单项式：-x、2x2、-3x3、4x4、……-19x19、20x20（1）你能说出它们的规律是什么吗？（2）写出第n个，第（n 1）个单项式。类似这种问题的解决都是通过观察、分析、猜想再不断验证，最后解决问题，发展学生的合情推理能力。再比如八年级数学“怎样判定三角形全等”这节的教学中，三角形全等的判定方法都是利用以下方式得出：操作构造问题情景——提出问题——解决问题——得出结论。这样通过设置n个密切相关而又各具特色的问题，使得探究过程自然如一，有效地培养了学生的合情推理能力。
另外，运用类比的思想也是发展学生合情推理的最好形式。在数学思维活动中，类比的表现形式是多种多样的。通常可分为简单的类比与复杂的类比两类。简单的类比即形式的类比。如由“在除法算式中，除数不能为零”，类比推出“分数的分母不能为零”和“比的后项不能为零”。复杂的类比即实质的类比，这种类比能拓宽学生的知识面，引导他们挖掘数量间隐藏着的内在联系，掌握数量间可能引起的变化规律。中学数学中许多结论和定理的给出都是类比。比如在学习合并同类的二次根式时类比整式中的合并同类项，学习有理数的运算律时类比小学数学中学习的运算律，学习分式性质与运算时类比小学数学中的分数的性质和运算，学习不等式的性质，解法及应用类比等式的性质，一元一次方程的解法与应用等等，这符合学生的思维品质和认知规律，有效地提高学生的合情推理能力。
总之，培养学生的合情推理能力，不仅有利于学生主动获取知识，而且有利于提高学生的创新能力。通过合情推理能力的培养，学生能真正体会思维乐趣，学会数学学习。面对新课程的挑战，我们要努力营造和谐的氛围，激发学生主动参与的兴趣，给学生创设主动参与的条件，让学生真正地参与到知识发生、发展的过程中，把合情推理能力的培养落实到数学课堂教学的各个具体环节中，从而达到学生整体素质的全面提高，为学生的终生发展打下良好的基础。