从“双基”到“四基”教学策略
时间：2014/9/13
一、主观意识上重视，辩证看待“四基”间的关系
数学教师应切实理解领悟“数学基本思想”和积累“数学基本活动经验”的重要意义。过去，我们一直很重视“基本知识”和“基本技能”的教学，讲究“精讲多练”，推崇“熟能生巧”，目的就是让学生获得扎实的基础知识和熟练的基本技能。教学与评价的焦点往往也放在所谓的知识点上和相关的技能上。现在，我们要清醒地认识到，数学教育要能着眼于学生数学素养的全面提升，仅有“双基”是不够的，因为“数学基本思想”和“数学基本活动经验”正是学生数学素养的重要组成部分。“四基”不是无中生有，而是对“双基+能力”的继承、发扬、改进和创新。
从“双基”发展到“四基”， 内容方法从重“结果”发展到既重“结果”又重“过程”。“双基”关注的是结果，是显性知识，看得见，好灌输；而“数学基本思想”和“数学基本活动经验”关注的是过程，是隐性知识，是在过程里面蕴含着的，是灌输不进去的，只能靠经历、体验、探索、领悟、传递、转化来获得。能灌输进去一定不是思想或经验，最多只能叫方法或技能。
“四基”在具体的实施过程中又是一个有机的整体，它们是紧密联系，相互交融的。数学基本知识和基本技能的教学是获得数学基本思想和数学基本活动经验的载体；数学基本思想是贯穿整个数学教学过程的主线，是精髓；数学基本活动是数学教学的基本形式，也就是数学基本思想的渗透、数学基本知识的掌握、数学基本技能的获得，都应统一于积累数学基本活动经验的数学活动之中。
二、教学过程中研究，有效探索“四基”的落实策略
在数学课堂教学中，如何落实“四基”是一个重要的又有一定难度的现实问题，需要每个数学教师的教学过程要有所创新、有所作为。在平时的课堂实践中，数学教师要积极研究与探索，努力践行数学课程目标，努力使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
1. 努力让学生在充分经历数学活动的过程中积累数学基本活动经验。
丰富多彩的数学活动是学生学习知识、习得技能、感悟思想的主要途径。它包含了对数学的情感、态度、价值观以及对数学美的体验，也包含了渗透于活动行为中的数学思考、数学观念、数学精神等，还包含处理数学对象的成功思维方法、方式等。数学活动主要有观察、操作、实验、猜想、证明、综合实践、交流等等。数学活动不是单一的肢体活动，必须蕴含活跃的思维活动。各种活动的经验都是在“做”和“思”的过程中积淀，在数学活动的过程中逐步积累的。
【案例1】 五年级“奇妙的图形密铺”
师：猜一猜，下面的几种图形哪个图形能密铺吗？
生：只有圆形不能密铺，其他的图形都可以。
师：怎么就圆形不可以密铺呢？
生：圆上没有角，圆与圆放在一起，中间总有空隙，不能密铺。
师：你们确信其他的图形都能密铺吗？有没有怀疑？需不需要要验证一下？
生：确信！没有怀疑，不需要验证！
师：为什么这么确信呢？
生：因为其它图形上都有角，拼起来后就不会像圆形那样中间有空隙。
师：大家善于观察，又善于分析，在观察和分析的基础上大胆猜想，不用动手拼就能很有把握地判断出这些图形哪些能密铺了，很了不起。
师：我们动手拼一拼，看拼出来的密铺图案是什么样的好吗？
学生分别用书后附页中的彩色平行四边形、梯形或三角形进行拼摆，每拼好一个就叫老师去欣赏。密铺出来的图案，美不胜收，美得让人震撼。但学生用正五边形来拼时，调整来调整去，就是密铺不起来。但没有一位学生说不能密铺，一个劲儿在那不停地忙调整。过了好长时间——
生：我怎么拼不起来呀？
师：怎么会拼不起来呢？刚刚讨论过了，正五边形上有角，应该是可以密铺的呀？谁拼好了就来帮帮他。
生：还没有拼好。
师：是不是真的拼不起来呢？
生：再试试。
又拼了一会儿，很多同学放下了手里的纸片，与同学讨论着调整的方法。
又过了一会儿，学生灰心了：正五边形拼不起来！老师拼给我们看吧！
师：别把希望落在我身上，告诉大家，我拼不出来，过去的许多数学家也拼过，都没有拼出来！（学生一阵笑）刚刚讨论的时候，你们都说能拼出来，老师以为要有新的数学家诞生了！（学生又是一阵笑）大家敢于向权威挑战，是好事！许多新的科学家就是在否定前人的基础 上诞生的。（学生的脸上洋溢着自信的笑容）
师：刚刚我们用正五边形来密铺，结果是——
生：拼不出来！
师：拼不出来，说明了什么？
生：正五边形不能密铺！
师：可开始我们通过观察分析都认为能密铺，这又想到了什么？
生：光凭眼睛看，凭感觉猜想是不够的，要动手验证一下。
师：现在看这几个图形，你能得出什么结论？
生：正五边形和圆形不能密铺，平行四边形、梯形和正三角形都能密铺。
师：你还想到什么问题？
生：为什么平行四边形、梯形和正三角形都能密铺，而为正五边形同它们一样都有角，怎么就不能密铺了？是不是其中有什么原因？
师：这个问题值得研究，数学家也研究过这样的问题，有兴趣课后可以去探究一番，看看与数学家们发现的结论是否一致。
生：我还想知道，还有哪些正多边形能密铺？哪些正多边形不能密铺？
【思考】数学基本活动经验只有在活动积累，是学生在经历数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知。学生一开始通过猜想认为只有圆不能密铺，其他的图形都可以，而且认为不需要验证。这时教者没有强行让学生“操作验证”，而是改为“操作展示”，欣赏密铺后的图形，让学生欣赏到了几何图形密铺后特有的美。当学生用正五边形反复拼摆，密铺不成功时，教师没有强行终止学生的活动，一直是耐心等待，给学生充足的时间进行尝试、探究，一直到学生确认正五边形不能密铺为止。学生在此基础上，获得了这样的深刻体验：“光凭眼睛看，凭感觉猜想是不够的，要动手验证一下！”
2. 让学生在有效经历“数学化”的过程中领悟数学基本思想。
史宁中教授强调，数学基本思想需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。在此基础上，《课标(2011)版》提出三种数学基本思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。抽象、推理和建立模型实际上就是“数学化”的过程，也就是说，如果教师能让学生有效经历“数学化”的过程，也就能让学生从中领悟到数学的基本思想。
【案例】二年级“倍的认识”
黑板上有3个红色圆片和6个黄色圆片。
师：比较一下3和6，你发现3和6之间有什么关系？
生：6比3多3个。
师：6比3多3个，也可以说3比6少3个，这是6和3之间的相差关系。
师：6和3之间，还有什么特殊的关系？
生：6里面正好有2个3。
师：对，巧了，6里面不多不少，正好有2个3。这种情况下，我们就说6和3之间是2倍的关系。
师：凭感觉想一想，6和3之间，谁是谁的2倍。
生：6是3的2倍。
师：为什么说6是3的2倍。
生：因为6里面有2个3。
师：是的，6里面有2个3，我们就说6是3的2倍。
师：现在你能想到哪2个数，它们之间也正好是2倍的关系?这两个数中，谁是谁的2倍？
生：8是4的2倍。
生：20是10的2倍。
师：他想到了两位数，能否想到更大点的数？
生：1000是500的2倍。
生：2000是1000的2倍。
师：请大家按要求画一画，圈一圈，想一想——第一行画2根小棒，第二行画6根小棒。6是2的几倍？
学生圈画后回答：6是2的3倍。
师：继续画一画，圈一圈，想一想——第一行画3根小棒，第二行画15根小棒。15是3的几倍？
学生圈画后回答：15是3的5倍。
师：继续——第一行画5根小棒，第二行画40根小棒。40是5的几倍？
生：哇——
师：“哇”什么呢？
生：太多了！
师：如果你能直接算出来，不画小棒也行。
生：40是5的8倍。
师：40一定是5的8倍吗？你是怎么想、怎么算的？
生：想知道40是5的几倍，就想40里面有几个5？40÷5=8，表示40里面有8个5，所以40就是5的8倍。
师：不画小棒，你能直接算出72是8的几倍吗？
生：72÷8=9，72是8的9倍。
【思考】数学基本思想应当成为学生学习、理解、掌握各部分数学内容的魂，成为形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决数学问题的主线。如认识“倍”这个数学概念的过程中，让学生有效经历了抽象、推理、建模的过程。首先，让学生看图感知3和6之间的特殊数量关系。在学生发现“6里面正好有2个3”的基础上，引导学生抽象出“倍”的概念：因为“6里面正好有2个3”，所以就说“6是3的2倍”。然后引导学生进行简单的推理：根据6是3的2倍，你还能想到哪个数是哪个数的2倍？接着在认识“2倍”的基础上通过圈画小棒，认识“几倍”的关系，并让学生自主构建起用除法计算“一个数是另一个数的几倍”的计算模型。学生有效经历了数学化的过程，数学基本思想也就有效渗透在了其中。
从“双基”到“四基”，对数学教师提出了更高的素质要求。数学教师应立足儿童的现状，着眼与儿童的发展，把握“四基”的基本内涵，研究“四基”的教学策略，提升“四基”的达成水平，真正让班级中的学生，人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
从“双基”到“四基”，任重而道远……
