数学教师专业发展的核心成分在于其学科专业发展水平。数学教师学科专业知识发展水平可以分为直观水平、概念水平和理论水平。其中，直观水平是以事实、关系、方法为主体和以个案为事例的;概念水平是以知识、思维、能力为主体的，而其内容更具有一般意义，但却有比较明显的实际背景;理论水平是以抽象、符号化为其核心的，其典型特征在于没有实际背景。数学教师学科知识专业发展的基本环节是“建立直观一进入概念一形成理论”。 

1.直观水平     

史宁中教授指出，“建立直观是非常必要的，就教育而言，直观是一种判断能力，是凭借专业直觉对事物作出直接判断的能力，包括从条件预测结果的能力，也包括由结果探究成因的能力。教师直观能力的形成与发展，依赖于个体的问题意识、洞察与反思的能力、经验积累与专业知识。胡炯涛认为:“数学直觉思维就是人脑对数学对象及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象。此文所说的数学直观水平，是指把体验与经验因素同数学问题的本质直接联系的个体认知水平，体现了数学思维形式的整体性和综合性、思维过程的简约性和直接性。直观水平体现的载体是“个案”，而数学问题的“事实、关系与方法”研究基于“个案”，因此，可由以下三个层面阐述教师直观水平。     

（1）事实层面：核心是“问题的来源” 

在数学教学过程中，普遍存在“问题”的发现、归纳直至提出都由教师来完成的现象。学生对问题是如何提出来的、提问和提出问题的关联等问题的关注与探究不深入，理解得不完整。 

思维的问题性表现为人们在认识活动中经常意识到一些难以解决的、疑惑的实际问题或理论问题，并产生一种怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态，这种心理又驱使个体积极思维，不断提出问题和解决问题。思维的这种问题性心理品质，被称为问题意识。 

问题意识对于人的认知发展具有重要的促进作用。某种意义上，问题就是答案。为了便于理解和把握，依据所涉问题意识对于人的认知发展具有重要的促进作用。某种意义上，问题就是答案。为了便于理解和把握，依据所涉及的内容，可把问题意识分为以下三种:“源”问题意识，是指起源与本质的探究意识；“流”问题意识，是指过程与变化的探究意识；“果”问题意识，是指结果与顶测的探究意识。也就是说，理论探究和实践操作过程中要从源、流、果三个维度思考问题意识的培养。 

 (2)关系层面:核心是“条件的收集” 

在现实生活中，人们遇到或提出很多问题，而这个问题不管是怎样一个事实，要想解决必须有一定的条件，也就是说，找到解决问题的相应条件是关键。在数学教学过程中，要解决的问题的条件通常是己知的、足够的，但在现实生活活中却井非如此。围绕要解决的问题“收集条件”是一种以问题为主线的探究过程，是解决问题的切入点和突破口，是培养数学教师创新素养的重要环节。教师要能依据己有经验、知识，了解解决问题所需的现有技术与方法，关注事物间横向与纵向关联，区分出问题的内涵与实质，提出正确的问题或假设。也就是说，通常在己有知识技能的基础上，通过理论假设与分析、调查与实验获取解决问题的条件。  

(3)方法层面：核心是“方法的选择” 

方法的选择要考虑用什么样的方法最有效、最容易被接受，方法或途径的选择依据是什么。首先要澄清数学方法的含义。数学力一法是数学思想的具体化形式，又是解决问题的手段、途径中所包含的可操作的规划或模式。其次是对方法的整性体把握，无论从宏观还是微观上来看，有着多种多样的数学方法，教师要有完整性的数学方法的知识并且能够从整性体上把握这些方法，这样选择才更灵活。因而，欲考察教师对数学方法掌握的情况，要看教师能否解释某一个方法的含义，同时要看教师是否备有与每一个方法所对应的典型案例。 

2.概念水平 

概念是数学知识的细胞，是思维的基础。对数学教师而言，由于职前职后通过学习和实践所获得的知识、技能与经验不同，对某一概念会有不同程度的认识和理解。对数学某一概念的认知水平的发展与进一步掌握，往往建立在它的前概念基础之上。为此，教师要探究生成概念与理解概念的过程，提升概念认知水平，概念的理解依赖具体背景。下面从知识、思维、能力三个层面阐述教师概念水平的发展。 

（1）知识层面:核心是“概念的理解” 

教师概念水平的知识层面是指数学学科中的概念、原理、公理与公设、思想方法与技能以及这些知识在教师头脑中的数量和结构。即，围绕概念形成知识结构的过程:概念来源一形成过程一表征方法一理解维度一同化一数学联结一概念图一应用思维一概念理论模型。概念内涵与外延、形成过程、关系的理解程度是促进教师逻辑思维发展的关键。教师知识水平的发展是从具体到抽象和从抽象到具体的螺旋式升级的过程，是加深理解层次和重塑概念结构的过程。即，关于概念的理解是从线性结构到树形结构再到网状结构的认知发展过程。其中，线性结构是指头脑中的关于概念与概念、概念与故事的一对一结构树形结构是指头脑中的关于概念与概念、概念与故事的一对多结构网状结构是指头脑中的关于概念与概念、概念与故事的多对多结构。 

(2)思维层面:核心是“思路的启迪” 

数学教师思维差异体现在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，而思维水平体现在对事实的观察、比较、分析、综合、抽象等心智活动的广度、深度、难度和严谨性上“解决问题”是数学思维的核心，解决问题过程能够达到以简驭繁善于转化之效果是数学思维的深刻性、敏捷性、灵活性之外在表现，这此思维品质的形成与发展根植于联想思维、发散思维、批判思维，从而培养教师于无形中觅见有形与于有形中发现无形的洞察能力。教师只有具备良好的数学思维品质，才能增强应变能力、丰富想象能力，返璞归真，不断提高学科知识水平，解放学生思维，完善教与学的过程，培养学生创新意识和创新能力。 

(3)能力层面:核心是“技能的形成” 

现代数学教育理论普遍认为，数学能力是一种与数学活动有关的特殊的能力，是顺利完成数学活动所具备的并且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。史宁中教授高度概括了数学基本能力结构——“四能，即发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力”。 

3.理论水平 

数学教育教学实践是以数学活动为主要载体，以数学核心概念为主线，澄清直观与逻辑、分析与构造、具体与抽象、个别与一般的关系，系统整理自身所 掌握的数学思想方法与观念、知识与活动经验(包括知识的来龙去脉，形成概念的背景、意义，获取知识的能力和方法等等)，进而上升为理论水平的。因而，我们认为，数学学科知识发展的基本环节为:建立直观一进入概念一形成理论。 

首先，个案出发，认清与个案相关的事实、关系和解决方法，提出问题，收集解决问题所需条件，设计解决问题方案且选择方法，从而建立直观；其次，从解决多个个案过程中积累经验，利用概念、图形、符号和关系等描述一类问题，形成认知结构和思维模式，进而培养解决具有现实背景的一般性问题的数学能力；最后，通过理论假设和推理，归纳规则与法则，构建思维模式与问题模型，并且能够在无背景的一般意义上解释事物关系的系统，即形成理论。 

总之，有效的数学教与学过程，本质上是数学发展史在人们头脑中的缩影，也是不同层次的再探索和再创造的修正过程。由于数学教师学利专业知识发展具有水平差异，因而，提升数学教师专业发展水平必须关注三个发展水平的差异，需要针对不同的发展水平，采取相应的策略。